Autour de la justification mathématique

Descriptif

La question de savoir ce qui fonde la validité d’un résultat mathématique semble, de prime abord, résolue par les procédures de démonstration, tandis que la solidité de l’édifice mathématique paraît assurée par les différentes théories des fondements. Pourtant, si la réflexion sur la preuve remonte à la Grèce antique, les textes des mathématiciens anciens témoignent également d’une grande diversité de formes de justification. Dès lors, peut-on réellement réduire la justification mathématique à la seule démonstration ?

La preuve demeure, dans la pratique mathématique, la forme de justification la plus largement reconnue. Cependant, l’étude de la démonstration ne suffit pas à elle seule à rendre compte de sa validité : encore faut-il préciser ce qui confère à une démonstration sa valeur justificative. Le débat philosophique sur l'explication mathématique s'articule autour de la question suivante : qu’est-ce qui distingue une preuve explicative d’une preuve qui ne l’est pas ? Mais cette question en implique une autre, plus fondamentale encore : qu’entend-on par explication ? L’explication mathématique renvoie ainsi à la nature de la compréhension produite par la démonstration. Elle concerne exclusivement les preuves, ce qui conduit à distinguer celles qui apportent une véritable compréhension des propriétés mathématiques, de celles qui se contentent d’établir un résultat sans en éclairer le sens. Une telle compréhension relève de ce que l’on peut appeler, à la suite de Guershon Harel (2013), une justification épistémologique : il s’agit de comprendre pourquoi et comment un savoir mathématique a été élaboré. Cette forme de justification ne se limite pas aux démonstrations, mais englobe l’ensemble des connaissances mathématiques. Elle soulève alors plusieurs questions : existe-t-il des formes de connaissance mathématique non déductives ? Faut-il adopter une position sceptique à l’égard de l’induction énumérative ?

Plus généralement, la justification épistémologique porte sur l’ensemble des composantes du savoir mathématique – axiomes, définitions, théorèmes ou preuves – en s’interrogeant sur les conditions de leur élaboration. Ainsi, selon Poincaré, les théories de la logique formelle ne suffisent pas à rendre compte de ce qui est essentiel à la compréhension d’une démonstration : une intuition pure est nécessaire pour en assurer à la fois la justification et l’intelligibilité. C’est en ce sens que les mathématiques se distinguent de la logique, notamment par leur dimension créatrice, dont le principe d’induction complète constitue une illustration privilégiée. Toutefois, les conceptions de l’induction
sont multiples : doit-on y voir une intuition immédiate ou un processus médiatisé ? Faut-il adopter une perspective dite « copernicienne », centrée sur les structures du sujet connaissant, ou bien une approche « anticopernicienne » ? Plus largement encore, quelle est la structure de la justification en théorie des ensembles, et, au-delà, celle de la justification mathématique elle-même ?

La théorie des ensembles est considérée par beaucoup comme le fondement des mathématiques dans la mesure où la quasi-totalité de celles-ci peut y être formalisée. La question de sa cohérence (consistance) devient alors cruciale, surtout si l’on admet que toute justification mathématique est de nature déductive et s’identifie à la preuve. Dans cette perspective, une difficulté majeure apparaît : comment justifier les principes fondamentaux de la théorie des ensembles elle-même ?

Par ailleurs les progrès réalisés depuis une vingtaine d'années dans le domaine de la vérification assistée par ordinateur des démonstrations mathématiques offrent au philosophe et à l'épistémologue des mathématiques matière à repenser la notion même de démonstration. Les assistants de preuve en particulier ont contribué à faire évoluer les pratiques dans les domaines de la recherche et de l'enseignement des mathématiques. Il s'agit de logiciels qui permettent de formaliser des démonstrations et d'en vérifier mécaniquement la validité. Leur usage conduit à s'interroger sur la fonction et la valeur d'une démonstration, ou encore à ce qui motive tel ou tel choix de formalisation : une démonstration certifiée valide est-elle pour autant une démonstration qui contribue à une meilleure compréhension des concepts et objets mathématiques qu'elle manipule ? La lisibilité par l'ordinateur est-elle toujours compatible avec l'intelligibilité par l'humain ?

Sans prétendre clore le problème, on peut distinguer trois grandes orientations contemporaines. La première famille regroupe les héritiers du programme hilbertien – tels que Gerhard Gentzen et Paul Bernays – ainsi que l’ensemble de la tradition de la théorie de la démonstration. Dans cette perspective, l’universalité des mathématiques est rapportée à la justification formelle des règles de déduction. La seconde correspond à l’héritage husserlien : elle cherche à penser la justification des idéalités mathématiques, ou comment ce qui est constitué dans et par une histoire déterminée peut-il prétendre à une validité qui excède toute situation empirique particulière. La troisième orientation – qu’on retrouve chez Philip Kitcher – est essentiellement empiriste. D’une part, elle remet en cause la démarche traditionnelle de production de connaissances mathématiques, qualifiée d’apriorisme mathématique : on la retrouve dans l’approche des deux premières orientations. D’autre part, elle met en relief une démarche empirique de la connaissance mathématique, longtemps marginalisée. Cette orientation offre plusieurs perspectives d’approches empiristes de la justification des connaissances mathématiques, notamment en ethnomathématique et sociologie des mathématiques par exemple.

Ces Journées d’étude permettront aux chercheurs confirmés et aux doctorants de réfléchir sur différentes approches de la justification mathématique.

Programme (provisoire)

Jeudi 5 novembre

10h - 11h15 Pierre-Emmanuel Boyer (CGGG - Aix-Marseille Université) : La démonstration mathématique, entre invention et justification

Pause

11h30 - 12h45 Eric Vandendriessche (CNRS, CREDO - Aix-Marseille Université) : titre à venir

Repas

14h30 - 15h45 Julien Narboux (Laboratoire IRIF - Université Paris  Cité) : De l’intuition à la rigueur : tensions entre justifications informelles et formelles lors de l'utilisation d’un assistant de preuve en classe

Pause

16h00- 17h15 Issah Sabi, (CGGG -  Aix-Marseille Université) : Controverses mathématiques : une approche collective et empiriste de la justification

Vendredi 6 novembre 

10h00 - 11h15 Norbert Schappacher (IRMA - Université de Strasbourg) : Comment décrire l’évolution des critères de justification en Géométrie algébrique au XXe siècle ?

Pause

11h30 - 12h45 Gabriella Crocco (CGGG - Aix-Marseille Université) : La dialectique du formel et de l'intuitif dans le processus de justification chez Gödel.

Comité scientifique : Paul Aguado (CGGG/Sphère - AMU), Pierre-Emmanuel Boyer (CGGG - AMU), Paola Cantù (CGGG - AMU), Giuliana Gerace (CGGG - AMU), Faustine Oliva (CGGG - AMU), Issah Sabi (CGGG - AMU)

Contacts : pierre-emmanuel.boyer@etu.univ-amu.fr ; issah.sabi@etu.univ-amu.fr

Participation gratuite mais inscription obligatoire : lien à venir.